Explicație pas cu pas:
Pentru a găsi valorile parametrilor \(a\) și \(\beta\) pentru care sistemul de ecuații liniare dat are soluții non-nule, putem utiliza teoria sistemelor de ecuații liniare și regulile de algebra liniară.
Sistemul de ecuații liniare dat este:
\[
\begin{cases}
2x - y + 3z &= 0 \\
2x + y + z &= 0 \\
x + ay + (a + 1)z &= 0
\end{cases}
\]
Putem reprezenta acest sistem de ecuații liniare sub forma matriceală:
\[
\begin{pmatrix}
2 & -1 & 3 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & a & (a + 1)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Pentru ca sistemul să aibă soluții non-nule, matricea coeficienților trebuie să fie singulară, adică determinantul să fie zero.
Determinantul matricei coeficienților este:
\[
\text{det} =
\begin{vmatrix}
2 & -1 & 3 \\
2 & 1 & 1 \\
1 & a & (a + 1)
\end{vmatrix}
\]
Calculând determinantul, obținem:
\[
\text{det} = 2(1)(a + 1) + 1(2a + 3) + 3(2 - a) - 3(a + 1) - 1(2 - 2a) - 2(1)
\]
\[
\text{det} = 2a + 2 + 2a + 3 + 6 - 3a - 3 - 3a - 3 - 2 + 2a
\]
\[
\text{det} = 4a + 4 + 6 - 3a - 3 - 3a - 3 - 2 + 2a
\]
\[
\text{det} = 4a + 4 - 3a - 3 - 3a - 3 - 2 + 2a
\]
\[
\text{det} = 4a - 3a - 3a + 2a + 4 - 3 - 3 - 2
\]
\[
\text{det} = 0
\]
Așadar, determinantul este zero.
Pentru a găsi valorile pentru \(a\) și \(\beta\) care să satisfacă această condiție, trebuie să analizăm opțiunile:
a. \(a\). \(B=2\) și \(a=0\) - Adevărat, deoarece \(a = 0\) implică că determinantul este zero.
b. \(\beta=2\) și \(a \in \mathbb{R} \backslash \{0\}\) - Adevărat, deoarece nu există restricții pe \(a\) pentru ca determinantul să fie zero.
c. \(\beta \in \mathbb{R}\backslash\{2\}\) și \(a = 0\) - Adevărat, deoarece \(a = 0\) implică că determinantul este zero.
d. \(\beta \in \mathbb{R}\backslash\{2\}\) și \(a \in \mathbb{R}\backslash\{0\}\) - Adevărat, deoarece nu există restricții pe \(a\) pentru ca determinantul să fie zero.
e. \(\beta = 0\) și \(a = 0\) - Fals, deoarece valorile pot fi diferite de zero și totuși determinantul poate fi zero.
Prin urmare, singura opțiune falsă este e. \(B = 0\) și \(a = 0\).
Sper ca te-am ajutat.
