Răspuns:
a) BC = 2 • DE
b) paralelogram
Rezolvare:
a) AD ≡ DC, ∡D = 90° ⇒ ΔADC este dreptunghic isoscel
AE⊥AC ⇒ AE este înălțime și mediană ⇒ conform Teoremei medianei în triunghiul dreptunghic
[tex]DE = \dfrac {1}{2} \cdot AC[/tex]
Construim CN⊥AB, N∈AB
AB || CD, AD⊥AB, CN⊥AB, AD ≡ DC ⇒ ANCD este pătrat ⇒ AN ≡ CN ≡ CD
AB = 2×CD, AN ≡ CD ⇒ BC ≡ CD ⇒ BN ≡ CN ⇒ΔABC este dreptunghic isoscel ⇒ AC≡BC
[tex]\Rightarrow DE = \dfrac {1}{2} \cdot BC \Rightarrow BC = 2 \cdot DE[/tex]
b) ∡ABC = 45° ⇒ ∡BCD = 180°-45° = 135°
DE este înălțime ⇒ DE este bisectoare ⇒ ∡CDE = 45° ⇒ unghiurile BCD și CDE sunt interne de aceeași parte a secantei suplementare ⇒ dreptele DE și BC sunt paralele
DE || BC și BC = 2•DE ⇒ DE este linie mijlocie în ΔFBC ⇒ FD ≡ DC ⇒ FC = 2•DC ⇒ FC ≡ AB
F ∈ DC, DC || AB ⇒ FC || AB
Dacă într-un patrulater convex două laturi opuse sunt paralele și congruente atunci patrulaterul este paralelogram.
Din FC ≡ AB, FC || AB ⇒ patrulaterul ABCF este paralelogram
