Răspuns:
Pentru problema (b), când un număr este pătrat perfect, el poate fi scris sub forma (a^2) unde a este un alt număr. Putem folosi acest principiu pentru a arăta că A este pătrat perfect:
A = 2^2011 * 2^2010 - 2^2009 - 2^2008
= (2^2010)^2 - 2^2009 - 2^2008
= (2^2010)^2 - 2^2008(2^1 + 1)
= (2^2010)^2 - 2^2008 * 3
Deci, putem vedea că A este o diferență a două pătrate, astfel încât putem scrie A ca pătrat perfect.
Pentru subpunctul 4, să calculăm ultima cifră a numărului n.
n = 1^2005 + 2^2005 + 5^2005 + 7^2005
Pentru a găsi ultima cifră a lui n, putem folosi următoarea regulă:
- Pentru 1 la orice putere, ultima cifră va fi întotdeauna 1.
- Pentru 2 la orice putere, ultima cifră va alterna între 2, 4, 8 și 6 conforme exponentul este divizibil la 4.
- Pentru 5 la orice putere, ultima cifră va fi întotdeauna 5.
- Pentru 7 la orice putere, secvența cifrelor unităților va fi ciclică: 7, 9, 3, 1.
Calculând fiecare termen și adunându-le, obținem:
n = 1 + 6 + 5 + 7
n = 19
Astfel, ultima cifră a lui n este 9.
