Determinați numerele de forma [tex]\overline{1x5}[/tex] divizibile cu:
a) 2; b) 3; c) 5; d) 9; e) 10; f) 7.
a) imposibil, deoarece ultima cifră este impară
x ∈ ∅
nu există numere de forma [tex]\overline{1x5}[/tex] divizibile cu 2
b) suma cifrelor trebuie să fie multiplu de 3: 0, 3, 6, 9 etc.
1 + x + 5 ∈ M₃
x ∈ M₃
x cifră ⇒ x ∈ {0, 3, 6, 9}
numerele căutate sunt: 105; 135; 165; 195
c) ultima cifră este 5, deci penultima cifra poate fi oricât
[tex]\overline{1x5}[/tex] divizibil cu 5 ∀x
numerele căutate sunt: 105; 115; 125; 135; 145; 155; 165; 175; 185; 195
d) suma cifrelor trebuie să fie multiplu de 9: 0, 9, 18 etc.
1 + x + 5 ∈ M₉
x + 6 ∈ M₃
x + 6 ∈ {0, 9, 18, ...}
x cifră ⇒ x = 3
numărul căutat este 135
e) imposibil, deoarece ultima cifră ≠0
x ∈ ∅
nu există numere de forma [tex]\overline{1x5}[/tex] divizibile cu 10
b) criteriul de divizibilitate cu 7 este ceva mai complicat; vom face un artificiu
[tex]7\ |\ \overline{1x5}\ \ si\ \ 7\ |\ 98 \implies 7\ |\ (\overline{1x5}-98)\implies 7\ |\ (100 +\overline{x5}-98)\implies[/tex]
[tex]\implies 7\ |\ \overline{x7}[/tex]
multiplii de 7 de forma [tex]\overline{x7}[/tex] sunt 07 și 77 (x poate fi și 0, pentru că noi avem nevoie de x pe poziția zecilor, după cifra sutelor)
⇒ x ∈ {0; 7}
numerele căutate sunt: 105; 175
