Pentru a rezolva aceste probleme, putem folosi trigonometria și proprietățile triunghiului dreptunghic.
a) Aria laterală a piramidei:
Piramida triunghiulară regulată are o latură VB de 8 cm și unghiul BVC de 30°. Vom folosi trigonometria pentru a calcula lungimea muchiei laterale VA și apoi vom putea calcula aria laterală.
Folosind trigonometria în triunghiul VBC:
\(\sin 30° = \frac{{VM}}{{VB}} = \frac{6}{{8}} = \frac{3}{4}\)
Acum, putem folosi teorema cosinusului pentru a găsi lungimea VA:
\(VA^2 = VB^2 + VM^2 - 2 \cdot VB \cdot VM \cdot \cos \angle BVC\)
\(VA^2 = 8^2 + 6^2 - 2 \cdot 8 \cdot 6 \cdot \cos 30°\)
\(VA^2 = 64 + 36 - 96 \cdot \frac{{\sqrt{3}}}{{2}}\)
\(VA^2 = 100 - 48\sqrt{3}\)
\(VA = \sqrt{100 - 48\sqrt{3}}\)
Știind acum laturile VA și VB, putem calcula aria laterală a piramidei, folosind formula:
\(Aria\;laterală = \frac{{perimetru\;bazei \times latura\;laterala}}{2}\)
\(Aria\;laterală = \frac{{3 \times (VB + VA)}}{2}\)
\(Aria\;laterală = \frac{{3 \times (8 + \sqrt{100 - 48\sqrt{3}})}}{2}\)
\(Aria\;laterală ≈ 67.66 \;cm^2\)
b) Lungimea laturii bazei:
\(Lungimea\;laturii\;bazei = VA = \sqrt{100 - 48\sqrt{3}} \approx 5.81 \; cm\)
c) Pentru a găsi valoarea minimă a perimetrului triunghiului MNP, trebuie să știm unde se află punctele N și P exact pe laturile VA și VC. Având în vedere poziția lui M la 6 cm pe latura VB, calculăm P și N astfel:
\(PN = VA - VM = \sqrt{100 - 48\sqrt{3}} - 6 \approx -0.19 \; cm\) - deoarece P și N nu pot avea o lungime negativă, aceasta înseamnă că perimetrul triunghiului MNP nu poate fi minimizat în această situație dată, deoarece nu există o valoare reală pozitivă a lui PN pentru a forma un triunghi.
