a) Expresia nu este definită atunci când numitorii sunt nuli
[tex]3 + x = 0 \implies x = -3[/tex]
[tex]3 - x = 0 \implies x = 3[/tex]
[tex]x^2-9 = 0 \implies (x-3)(x+3)= 0 \implies x = \pm 3[/tex]
⇒ E(x) nu există pentru x ∈ {-3;3}
b) Aducem la același numitor prin amplificare:
[tex]E(x) = \dfrac{(3-x)(3-x)}{(3+x)(3-x)} + \dfrac{(3+x)(3+x)}{(3-x)(3+x)} + \dfrac{12x}{(x-3)(x+3)}\\[/tex]
[tex]= \dfrac{9-6x+x^2}{(3+x)(3-x)} + \dfrac{9+6x+x^2}{(3-x)(3+x)} + \dfrac{-12x}{(3-x)(x+3)}[/tex]
[tex]= \dfrac{9-6x+x^2+9+6x+x^2-12x}{(3+x)(3-x)} = \dfrac{2x^2 - 12x + 18}{(3+x)(3-x)} \\[/tex]
[tex]= \dfrac{2(x^2 - 6x + 9)}{(3+x)(3-x)} = \dfrac{2(x - 3)^2}{(3+x)(3-x)} = \dfrac{2(3 - x)^2}{(3+x)(3-x)}\\[/tex]
[tex]= \dfrac{2(3 - x)}{x + 3}[/tex]
c) E(x) ∈ Z
[tex]E(x) = \dfrac{2(3 - x)}{x + 3} = \dfrac{6 - 2x}{x + 3} = \dfrac{-2x - 6 + 12}{x + 3} = \dfrac{-2(x + 3) + 12}{x + 3} = - 2 + \dfrac{12}{x + 3}[/tex]
Expresia are valori întregi dacă (x + 3) este divizor întreg al lui 12
[tex](x+3) \in \mathcal{D}_{12} \implies (x+3) \in \{-12,-6,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,6,12\}[/tex]
Valorile întregi ale lui x sunt:
[tex]x \in \{-15,-9,-7,-6,-5,-4,-2,-1,0,1,3,9\}[/tex]
