👤

AJUTOR REPEDE!!! DAU COROANA
Arătați că, pentru orice număr natural nenul n, fiecare dintre fracțiile următoare sunt reductibile.

a)
[tex] \frac{ {2}^{4n + 2} + 1 }{ {6}^{n} - 1 } [/tex]
c)
[tex] \frac{n(n + 1) \times (n + 2)}{2013} [/tex]


Răspuns :

a)

[tex]\dfrac{ {2}^{4n + 2} + 1 }{ {6}^{n} - 1 } = \dfrac{ {2}^{2(2n + 1)} + 1 }{ {6}^{n} - 1 } = \dfrac{ ({2}^{2}) ^{2n + 1} + 1 }{ {6}^{n} - 1 } = \dfrac{4^{2n + 1} + 1 }{ {6}^{n} - 1 } \\ [/tex]

Ultima cifră:

[tex]u(4^{2n + 1} + 1) = u(4^{2n} \times 4 + 1) = u(4 + 1) = u(5) \\ [/tex]

[tex]\implies (4^{2n + 1} + 1) \in \mathcal{M}_{5}[/tex]

[tex]u(6^{n} - 1) = u(6 - 1) = u(5)[/tex]

[tex]\implies (6^{n} - 1) \in \mathcal{M}_{5}[/tex]

=> fracția este divizibilă cu 5, pentru orice număr natural nenul n

c)

[tex]\dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{2013} = \dfrac{n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)}{3 \cdot 671} \\ [/tex]

[tex]n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2) \to produs \ de \ 3 \ numere \ consecutive \\ [/tex]

[tex]\implies [n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)] \in \mathcal{M}_{3}\\[/tex]

=> fracția este divizibilă cu 3, pentru orice număr natural nenul n

q.e.d.

[tex]\it a) \ \ u(4^{4n+2})=4 \Rightarrow u(4^{4n+2}+1)=5\\ \\ u(6^n)=6 \Rightarrow u(6^n-1)=5\\ \\ Deci,\ frac\c{\it t}ia\ se\ simplific\breve a\ prin\ 5\ .[/tex]

[tex]\it b)\ \ 3|n(n+1)(n+2);\ \ \ 3|2013\\ \\ Deci,\ \ frac\c{\it t}ia\ se\ simplific\breve a\ prin\ 3\ .[/tex]

Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile prezentate v-au fost utile. Dacă aveți întrebări suplimentare sau nevoie de ajutor, vă rugăm să ne contactați cu încredere. Așteptăm cu drag să reveniți și nu uitați să ne salvați în lista dumneavoastră de favorite!


En Studentsy: Alte intrebari